$n$ 的组合是总和为$n$ 的正整数序列。这样的序列可以分为游程，其中游程是相等项的最大连续子序列。

例如，$2,2,1,1,1,3,2,2$ 是 $14$ 的组合，由四个游程组成：

$2,21,1,132,2$

设 $F(n)$ 为 $n$ 的组合数，其中每个游程都有奇数长度。

例如，$F(5)=10$：

$$\begin{array}{rlrlrlrlrl}& 5& & 4,1& & 3,2& & 2,3& & 2,1,2\\ & 2,1,1,1& & 1,4& & 1,3,1& & 1,1,1,2& & 1,1,1,1,1\end{array}$$

找到$F({10}^5)$。以 $1111124111$ 为模给出你的答案。