给定 $n\ge 2$ 个碗排列成一圈，$m\ge 2$ 个球分布在其中。

最初，球是随机分布的：对于每个球，均等概率且独立于其他球选择一个碗。完成后，我们开始以下过程：

1. 等概率地随机选择 $m$ 个球中的一个。
2. 选择移动方向 - 顺时针或逆时针 - 同样是随机的。
3. 将所选球按所选方向移动到相邻的碗中。
4. 返回第 1 步。

当所有 $m$ 球都位于同一个碗中时，此过程停止。请注意，如果球最初恰好分布在同一个碗中，则这可能是在零步之后。

设 $F(n,m)$ 为进程停止之前我们移动球的预期次数。例如，$F(2,2)=\frac{1}{2}$、$F(3,2)=\frac{4}{3}$、$F(2,3)=\frac{9}{4}$ 和 $F(4,5)=\frac{6875}{24}$。

令 $G(N,M)=\sum _{n=2}^N\sum _{m=2}^{M}F(n,m)$。例如，$G(3,3)=\frac{137}{12}$ 和 $G(4,5)=\frac{6277}{12}$。您还可以得到科学格式的 $G(6,6)\approx 1.681521567954e4$，小数点后有 12 位有效数字。

查找 $G(12,12)$。请以科学格式给出答案，小数点后保留 12 位有效数字。