边长为 $b<1$ 的正方形在边长为 $1$ 的较大正方形的内部滚动，始终接触较大的正方形但不滑动。
最初，两个正方形共享一个公共角。每一步，小正方形绕着大正方形的一个角顺时针旋转，直到它的另一个角接触大正方形。以下是 $b=\frac{5}{13}$ 前三个步骤的说明。

对于$b$的某些值，小方块可能会在几步之后返回到其初始位置。例如，当 $b=\frac{1}{2}$ 时，这会在 $4$ 步中发生；对于 $b=\frac{5}{13}$，它发生在 $24$ 步中。

令 $F(N)$ 为 $b$ 的不同值的数量，其中小方块在最多 $N$ 步内首次返回到其初始位置。例如，$F(6)=4$，对应的 $b$ 值： $$\frac{1}{2},2-\sqrt{2},2+\sqrt{2}-\sqrt{2+4\sqrt{2}},8-5\sqrt{2}+4\sqrt{3}-3\sqrt{6},$$ 前三个步骤为 $4$，最后一个步骤为 $6$。请注意，小方块是否返回其原始方向并不重要。
另外 $F(100)=805$。

求$F({10}^8)$。