让$\theta =\sqrt{-2}$。

将 $T$ 定义为 $a+b\theta$ 形式的数字集合，其中 $a$ 和 $b$ 是整数，并且是 $a>0$ 或 $a=0$ 和 $b>0$。对于集合 $S\subseteq T$ 和元素 $z\in T$，将 $p(S,z)$ 定义为通过乘积 $z$ 或 $-z$ 从 $S$ 中选择两个不同元素的方法数。

例如，如果 $S=\{1,2,4\}$ 和 $z=4$，则产品 $\pm 4$ 中只有一对有效元素，即 $1$ 和 $4$。因此，在本例中为 $p(S,z)=1$。

再举个例子，如果 $S=\{1,\theta ,1+\theta ,2-\theta \}$ 和 $z=2-\theta$，我们有 $1\cdot (2-\theta )=z$ 和 $\theta \cdot (1+\theta )=-z$，给出 $p(S,z)=2$。

设$A$和$B$为满足以下条件的两组：

• $1\in A$
• $A\cap B=\mathrm{\varnothing }$
• $A\cup B=T$
• $p(A,z)=p(B,z)$ 适用于所有 $z\in T$

值得注意的是，这四个条件唯一地确定了集合 $A$ 和 $B$。

设 $F_n$ 为第一个 $n$ 阶乘：$F_n=\{1!,2!,\dots ,n!\}$ 的集合，并将 $G(n)$ 定义为 $F_n\cap A$ 所有元素的总和。

您将获得 $G(4)=25$、$G(7)=745$ 和 $G(100)\equiv 709772949(\mathrm{mod}{10}^9+7)$。

找到 $G({10}^8)$ 并以 ${10}^9+7$ 为模给出答案。