斐波那契数列 $(f_i)$ 是唯一的数列，使得

• $f_0=0$
• $f_1=1$
• $f_{i+1}=f_i+f_{i-1}$

类似地，有一个独特的函数 $A(m,n)$ 使得

• $A(0,0)=0$
• $A(0,1)=1$
• $A(m+1,n)=A(m,n+1)+A(m,n)$
• $A(m+1,n+1)=2A(m+1,n)+A(m,n)$

定义$S(k)={\displaystyle \sum _{i=2}^k\sum _{j=2}^{k}A(f_i,f_j)}$。例如 $$\begin{array}{rl}S(3)& =A(1,1)+A(1,2)+A(2,1)+A(2,2)\\ & =2+5+7+16\\ & =30\end{array}$$您还得到$S(5)=10396$。

求 $S(50)$，将你的答案对 $1123581313$ 求模。