一群海盗发现了一批宝藏，必须决定如何在他们之间分配这些宝藏。宝藏由相同、不可分割的金币组成。

根据海盗法，财宝的分配必须按以下方式进行：

1. 最资深的海盗提议分配硬币。
2. 所有盗版者，包括最资深的盗版者，都会投票决定是否接受分配。
3. 如果至少有一半的盗版者投票接受，则分配有效。
4. 否则，最资深的盗版者必须走完这条木板，然后流程从第 1 步继续，下一个最高级别的盗版者将提出另一种分配方案。

如果海盗没能活下来，他的幸福等于$-\mathrm{\infty }$；否则，它等于 $c+p\cdot w$，其中 $c$ 是海盗在分配中收到的硬币数量，$w$ 是被迫走木板的海盗总数，$p$ 是海盗的嗜血程度。

海盗有很多特征：

• 贪婪：最大化他们的幸福。
• 冷酷无情：无法合作、做出承诺或维持任何声誉。
• 精明：完全理性且符合逻辑。

考虑一下在 $n$ 个海盗（都具有相同的嗜血性 $p$）找到 $C$ 硬币的情况下，幸存的最资深海盗的幸福感 $c(n,C,p)+p\cdot w(n,C,p)$。例如，$c(5,5,\frac{1}{10})=3$和$w(5,5,\frac{1}{10})=0$，因为可以证明，如果最资深的海盗提议向海盗分配$3,0,1,0,1$硬币（按照资历递减的顺序），那么收到硬币的三个海盗都会投票接受。另一方面，$c(5,1,\frac{1}{10})=0$ 和 $w(5,1,\frac{1}{10})=1$：最高级的海盗无法通过任何提议生存，然后第二高级的海盗必须将唯一的硬币交给另一个海盗才能生存。

定义${\displaystyle T(N,C,p)=\sum _{n=1}^N(c(n,C,p)+w(n,C,p))}$。已知 $T(30,3,\frac{1}{\sqrt{3}})=190$、$T(50,3,\frac{1}{\sqrt{31}})=385$ 和 $T({10}^3,101,\frac{1}{\sqrt{101}})=142427$。

求${\displaystyle \sum _{k=1}^{6}T({10}^{16},{10}^k+1,\frac{1}{\sqrt{{10}^k+1}})}$。 给出最后 9 位数字作为您的答案。