双曲平面可以用开单位圆盘表示，即${\mathbb{R}}^2$与$x^2+y^2<1$中的点$(x,y)$的集合。

测地线定义为开放单位圆盘的直径或圆盘内包含的与圆盘边界正交的圆弧。
下图显示了具有两条测地线的双曲平面；一个是直径，另一个是圆弧。

设$\mathcal{V}(N)$为点集$(x,y)$，使得$x^2+y^2<1$和$x,y$均为有理数，且分母不超过$N$。

令 $T(N)$ 为有序三元组 $(P,Q,R)$ 的数量，使得 $P,Q,R$ 是 $\mathcal{V}(N)$ 中的三个不同点，并且有一条双曲线穿过所有这些点。
例如，$T(2)=24$ 和 $T(3)=1296$。

查找 $T(12)$。