IBM Ponder This #312 · 2024 年 4 月

三根柱子沿圆周排列，$n$ 个圆盘编号为 $1,2,\dots ,n$，初始全在一根柱子上，最小盘 $1$ 在顶端。每次只能移动柱顶盘，不能把大盘放在小盘上。

定义三种操作码：0 把最小盘顺时针移到下一柱；1 把最小盘逆时针移到下一柱；2 移动一个非最小盘。最后一种若存在合法动作则唯一，若全盘同柱则什么也不做。

把动作字符串循环使用。目标是把所有盘移到初始柱顺时针方向的下一柱。例如 $n=3$ 时，0202020 达成目标，也可说循环 02 执行七步。一般 $n$ 盘在 $n$ 为奇数时用 02 执行 $2^n-1$ 步，为偶数 $n$ 时用 12 执行 $2^n-1$ 步。

$n=3$、循环 0202112 在第八、九步都处于目标；$n=4$、循环 200211 在第四十一、一百二十二步处于目标。把 $n=3$ 的第一游戏与 $n=4$ 的第二游戏同步执行，首次同时处于目标在第 932 步。

任务：求 $n=7$、字符串 12021121120020211202121，与 $n=10$、字符串 0211202112002，首次同时达到目标的步数。

附加问题：再加入 $n=9$ 及以下循环字符串，求三个游戏首次同时达到目标的步数，原题中的空格仅用于分隔排版：

20202020021212121121202120200202002121120202112021120020021120211211202002112021120211200212112020212120211

解答

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待补充。