IBM Ponder This #317 · 2024 年 9 月

Latchezar Christov 提出了这个问题。两个不同的整数边三角形 $(a,b,c_1)$、$(a,b,c_2)$，只在 $c_{1}and{c}_2$ 这条边上不同，共同两边为 $a,b$，且面积相同并非零，就称为一对兄弟三角形。

例如 $(5,5,6)$ 与 $(5,5,8)$ 面积均为 12；$(7,4,7)$ 与 $(7,4,9)$ 面积均为 $\sqrt{180}$。有些共同边 $a$、$b$ 没有兄弟对，例如 $a=3$、$b=2$；也可能不止一对。$a=24$、$b=23$ 时有三对：

• $(24,23,19)$ 与 $(24,23,43)$，面积 $\sqrt{41580}$；
• $(24,23,23)$ 与 $(24,23,41)$，面积 $\sqrt{55440}$；
• $(24,23,29)$ 与 $(24,23,37)$，面积 $\sqrt{71820}$。

任务：找出整数 $a,b$，满足 $a>b$，使共同边长为 $a$、$b$ 的兄弟对恰有五十对。

附加要求：这五十对中至少两对的共同面积为整数，其余可以无理。

解答

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待补充。