IBM Ponder This #320 · 2024 年 12 月

用 ${\omega }_d(n)$ 表示 $1$ 至 $n$ 的自然数中，十进制表示含数字 $d$ 的数量。例如 ${\omega }_1(1456)=728$、${\omega }_7(1456)=352$。

$n=1456$ 时有 $\frac{{\omega }_1(n)}{n}=\frac{1}{2}$，也就是恰好一半包含 1；对 $d=7$ 则有 $\frac{{\omega }_7(n)}{n}=\frac{22}{91}$。

任务：对 1 至 9 的每个 $d$，求满足 $\frac{{\omega }_d(n)}{n}=\frac{1}{2}$ 的最大 $n$。

可选目标：用一个简单公式 $f(d)$ 描述尽量多种 $d$ 的最大值。

附加问题：求满足 $\frac{{\omega }_1(n)}{n}=\frac{3}{4}$ 的最大 $n$，即只处理 $d=1$，但比例改为 $\frac{3}{4}$。

解答

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待补充。