IBM Ponder This #321 · 2025 年 1 月

Latchezar Christov 提出了这个问题。三壶 A、B、C 的容量分别为 $V_A=\sqrt{5}$、$V_B=\sqrt{3}$、$V_C=\sqrt{2}$ 升，最初全空。每步只能把某壶从水龙头装满、把某壶完全倒空，或从一壶向另一壶倒水直到前者空或后者满。假设操作绝对精确，不洒水。

要量出目标体积，只需某一壶最终含该体积。有限步无法精确量出非零有理数，因此把 $1$ 升放宽为 $1\pm 0.0003$ 升，也就是 $[0.9997,1.0003]$ 内均可。

用两个字母表示一次操作：第一字母为来源，第二为去处，T 为水龙头，S 为水槽。答案先写最少步数，再写操作。若目标为 $1\pm 0.01$，最短为 6 TA AB BS AB TA AB，最后 A 约有 1.00803 升。

任务：求量出 $1\pm 0.0003$ 的最短方案。

附加问题：A、B 不变，改变 C 的容量 $V_C$，要求 $V_C$ 为有理数 $V_C=\frac{p}{q}$，其中 $p$、$q$ 为整数，且 $V_C<V_B$；量出 $1\pm {10}^{-8}$ 恰好最少需要十一步；在这些方案中 $q$ 最小。给出 $V_C$ 的 $\frac{p}{q}$ 表示及操作序列。

解答

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待补充。