IBM Ponder This #339 · 2026 年 7 月

有 $n$ 名英雄和 $n$ 名反派，双方编号从 1 起，需一一配对。配对 $(a,b)$ 的评分为 $f(a,b)$。希望最大化所有配对中的最低分，称为英雄—反派值。

$f(a,b)$ 的定义如下。固定质数 $p$，令 $T_{a,b}(x)=x^2+ax+b(\text{mod}p)$，由 $x_0=0$ 与 $x_{n+1}=T(x_n)$ 生成 $x_0,x_1,x_2,\dots$。$f(a,b)$ 为首次重复前走过的步数：若 $x_n$ 是首个存在 $m<n$ 满足 $x_n=x_m$ 的项，则 $f(a,b)=n$。

例如 $n=5$、$p=101$ 时，配对 $(1,3),(2,1),(3,4),(4,2),(5,5)$ 得分 $14,18,19,22,14$，最低为 14，且不能提高，因此最优值为 14。

任务：求 $n=611$、$p=14411$ 的英雄—反派值。

附加问题：给定 $N=1000$，在 $1<n<N$ 中找出最优 $n$，使人数 $n$、模数 $p=17377$ 下的英雄—反派值最大。

解答

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待补充。