整数圆堆积 1

将三个圆 $C_2$、$C_3$ 和 $C_4$ 放置在一个较大的圆 $C_1$ 内，使得每对圆彼此相切并且内圆不重叠。



我们可以用更多的相切圆重复填充相互相切的圆之间的间隙，并生成圆堆积。将圆的曲率表示为其半径的倒数。有趣的是，如果四个相互相切的圆$C_1$、$C_2$、$C_3$和$C_4$的曲率是整数，则这种填料中的每个圆都具有整数曲率，我们将这种填料称为整圆填料。

下图显示了具有四个圆曲率的整圆封装：6、11、14 和 15（每个圆都标有其曲率，仅显示了部分圆）。



定义一个整数四元组（$a$、$b$、$c$、$d$），$a<0<b\le c\le d$代表初始四个互相相切的圆$C_1$、$C_2$、$C_3$和$C_4$的曲率，这决定了整数圆的填充。这里的负值表示边界圆的负曲率。例如，上述积分圆堆积可以表示为(-6，11，14，15)。

如果 $a$、$b$、$c$、$d$ 的最大公约数为 1，则称四元组（$a$、$b$、$c$、$d$） 原始的 四倍。四元组（$a$、$b$、$c$、$d$）是 根 如果圆填充中除最初四个圆之外的任何圆的曲率不小于 $d$，则为四倍。例如，(-6，11，14，15)是根四元组，而(-6，11，14，23)不是根四元组，因为圆形填充中存在小于23的曲率值15。

整数圆堆积的所有曲率（负号被省略）形成无限整数集。特别是如果用于打包的四元数是本原的，则集合中存在无限质数。例如，对于本原四元组（-3、4、12、13），集合中的质数为3、13、37、61、109、157、181、229等。令 $SP(a,b,c,d,n)$ 为四元组（$a$、$b$、$c$、$d$）集合中不超过 $n$ 的不同质数之和。例如，$SP$(-3、4、12、13、100) = 114。令 $S(t,n)$ 为所有 $SP(a,b,c,d,n)$ 的总和 原根 四倍（$a$、$b$、$c$、$d$）满足 $d\le t$。

您得到 $S$(10, 100) = $SP$(-1, 2, 2, 3, 100) + $SP$(-2, 3, 6, 7, 100) + $SP$(-3、5、8、8、100) + $SP$(-4、8、9、9、100) = 299 + 251 + 90 + 147 = 787。

找到 $S(50,{10}^7)$。