整数圆堆积 2

参见 问题 457 – 积分圆填料 1 积分圆堆积和四元组的概念。

根据圆包装中圆的生成顺序，定义代数如下： 4 相互相切的圆为第一代；用4相切圆填充它们之间的4间隙，形成第二代；并用形成新一代的进一步相切圆反复填充上一代相切圆之间的间隙。第一代 4 的圆圈如下所示。实际上，第 $n$（$n\ge 2$）代中新生成的圆的数量是 $4\times 3^{n-2}$。



对于循环包装中的某一代， 凸包 可以由所有圆的中心点集合构成。下图分别显示了 2nd 和 3rd 代用于四元整数圆封装（-6、11、14、15）的凸包（蓝色多边形）。



可以计算出2nd代的凸包面积为670/23023，3rd代的凸包面积为45650065/866875849。事实上，任何整数圆堆积的任何代的凸包面积都是有理数。

定义 $R(a,b,c,d,n)$ 为第 $n$ 代的凸包面积与四倍 $(a,b,c,d)$ 的外接圆面积之比。例如，$R$(-6、11、14、15、2) = $(670/23023)/(\pi /6^2)$ = 0.3334767170，$R$(-6、11、14、15、3) = $(45650065/866875849)/(\pi /6^2)$ = 0.6034442099。显然，当$n$趋于无穷大时，面积比趋于1。令 $S(t,n)$ 为所有 $R(a,b,c,d,n)$ 的总和 原根 四倍$(a,b,c,d)$满足$d\le t$。

您得到 $S$(10, 3) = $R$(-1, 2, 2, 3, 3) + $R$(-2, 3, 6, 7, 3) + $R$(-3、5、8、8、3) + $R$(-4、8、9、9、3) = 2.2572820988（四舍五入为10 小数点后的数字）。

找到$S(50,10)$。将您的答案四舍五入到小数点后的 8 位。