无穷和的连分数渐近分数

定义序列$b_n$如下：$b_0=c,b_n=b_{n-1}^2-2(n\ge 1)$，其中$c$是大于或等于3的正整数。

设无穷总和 $s$ 为 $$s=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{{\prod }_{k=0}^n{b}_k}=\frac{1}{b_0}+\frac{1}{b_0{b}_1}+\frac{1}{b_0{b}_1{b}_2}+\frac{1}{b_0{b}_1{b}_2{b}_3}+\cdots$$ 可以证明，对于$c$的所有可能值，无穷和是收敛的并且是无理数。

$s$ 可以表示为无穷大 连分数 相应的收敛记为 $p_n/q_n$（$n\ge 0$、$p_n$ 和 $q_n$ 互质）。例如，对于$c$ = 6，$s$ = 0.1715728752...，前几个收敛是$p_0/q_0$ = 0/1，$p_1/q_1$ = 1/5，$p_2/q_2$ = 1/6， $p_3/q_3$ = 5/29 等等。

令 $P(c,n)$ 和 $Q(c,n)$ 分别为值为 $c$ 的 $s$ 的 $n$ 收敛点 $p_n/q_n$ 的分子和分母。例如，$P(6,3)$ = 5，$Q(6,3)$ = 29。给定斐波那契数列 fn 定义为 $f_1=1$、$f_2=1$、$f_n=f_{n-1}+f_{n-2}$ ($n\ge 3$)。该序列的值不小于第 4 项中的 3。

让 $SP(m,n)=\sum _{i=4}^{m}P(f_i,n)$ 和 $SQ(m,n)=\sum _{i=4}^{m}Q(f_i,n)$ 相加。给定 $SP(5,10)$ = 606、$SQ(5,10)$ = 2784、$SP(10,100)\mathrm{mod}1000000007$ = 774200907、$SQ(10,100)\mathrm{mod}1000000007$ = 830200702。

查找 $SP({10}^5,{10}^{18})$ 和 $SQ({10}^5,{10}^{18})$，两者均以 1000000007 为模。

应答格式：[$SP({10}^5,{10}^{18})$],[$SQ({10}^5,{10}^{18})$]

示例：774200907,830200702 适用于 $SP(10,100)$ 和 $SQ(10,100)$

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感谢 西普 为了这个想法。