多边形台球

给定一个 常规的 $n$边多边形（$n\ge 3$）台球桌及其顶点逆时针方向标记为$A_1$、$A_2$、$\dots$、$A_n$。台球放置在 $A_1{A}_2$ 边缘的中间。当它以一定角度发射时，它会不断移动并从桌子两侧反射。假设桌子和球是理想的，从边缘弹起时反射角和入射角相同。

我们以等边三角形表（$n$ = 3）为例。



当球以 60 度角度发射时，它会击中边缘 $A_2{A}_3$ 和 $A_3{A}_1$，然后返回起点。对于$n$边多边形，存在一个连续的发射角度范围，使得球依次击中边$A_2{A}_3$、$A_3{A}_4$、$\dots$、$A_{n-1}{A}_n$，最后返回边$A_1{A}_2$。对于等边三角形工作台，最小发射角为40.893394649131度，最大发射角为73.897886248014度。参见上图中的蓝色箭头。

设 $D(n)$ 为满足上述规则的发射角度范围的长度 常规的 $n$ 边多边形，以度为单位。您获得了 $D(3)=33.004491598883$、$D(10)=1.866152295275$ 和 $D(50)=0.072102098755$。

找到${\sum }_{n=3}^{2018}D(n)$。将您的答案四舍五入到小数点后的 10 位。