排列的位移

令 $p$ 为集合 $\{1,2,3,\dots ,n\}$ 的排列。我们将总位移与 $D_k(p)=\sum _{i=1}^n|p_i-i{|}^k$ 称为 $k$ 的 $p$ 次方。例如，如果 $p$ = $(4,2,1,3)$、$D_1(p)=|4-1|+|2-2|+|1-3|+|3-4|=6$、$D_2(p)=|4-1{|}^2+|2-2{|}^2+|1-3{|}^2+|3-4{|}^2=14$、$D_3(p)=|4-1{|}^3+|2-2{|}^3+|1-3{|}^3+|3-4{|}^3=36$。

对于任何正整数 $n$，假设集合 $\{1,2,3,\dots ,n\}$ 的每个可能的排列 $p$ 是均匀分布的。令 $E(n)$ 为 $D_1(p)+D_2(p)+D_3(p)$ 的期望值。给定 $E(2)=3$、$E(3)=40/3$、$E(5)=432/5$ 和所有 $E(n)$ 都是有理数。令 $F(n)$ 为 $E(n)$ 的分子，$E(n)$ 为最低分数。所以，$F(2)=3$、$F(3)=40$、$F(5)=432$等等。

让$S(n)=\sum _{i=1}^{n}F(i)$。找到 $S(12345678987654321)\mathrm{mod}1000000007$。

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感谢 百黑客 为了这个想法。