轨迹 1 上的格点

给定一个矩形 $ABCD$，其边 $AB$ = $CD$ = $a$，边 $BC$ = $AD$ = $b$。当点 $A$ 沿 x 轴滑动并且点 $B$ 沿 y 轴滑动时，矩形的点 $D$ 会绘制一条曲线。

$a=2$ 和 $b=4$ 的曲线如下所示。



上图曲线上有4格点$(-4,0),(-2,-4),(4,0),(2,4)$。令 $C(a,b)$ 为矩形边 $a$ 和 $b$ 的曲线上不同格点的数量。例如，$C(2,4)=4$、$C(5,5)=12$ 和 $C(6,3)=4$。

定义 $S(n)={\sum }_{a=1}^n{\sum }_{b=1}^{n}C(a,b)$。您获得了 $S(10)=432$、$S(50)=10960$ 和 $S(100)=44128$。

找到 $S({10}^8)$。