丢番图方程 I 的解数

考虑以下丢番图方程：$x^2-y^2-z^2-xy-yz-zx=0$ 如果整数三元组 (x,y,z) 是丢番图方程的解，且 gcd(x,y,z)=1，则我们将其称为本原解 例如，(3,1,1) 是上述丢番图方程的原解：$3^2-1^2-1^2-3\times 1-1\times 1-1\times 3=0$ 事实上，$0<z\le y\le x\le 100$的原始解只有五种，分别是（3,1,1）、（19,11,1）、（37,19,5）、（61,29,11）和（91,41,19）。这五个原始解的总和是349，即$\sum x+y+z$ 上述 $0<z\le y\le x\le {10}^{13}$ 丢番图方程有多少个原解？所有这些原始解决方案的总和是多少？ 答案格式：count,($\sum x+y+z$) mod 10⁹

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