最小对数对

对于任意两个整数 $m>1$ 和 $n>1$，如果存在，我们称整数对 $(m,n)$ 为最小对数对 不 存在两个整数$a$和$b$以及$1<a<m$和$1<b<n$使得${\text{log}}_a(b)={\text{log}}_m(n)$。

例如，$(4,9)$ 不是最小对数对，因为 ${\text{log}}_4(9)={\text{log}}_2(3)$。此外，$(3,9)$ 不是自 ${\text{log}}_3(9)={\text{log}}_2(4)$ 以来的最小对数对。然而 $(2,3)$、$(3,4)$ 和 $(2,4)$ 都是最小对数对。

令 $D(N)$ 为 $1<m,n\le N$ 的所有最小对数对 $(m,n)$ 上的 $m+n$ 之和

您获得了 $D(10)=818$、$D(100)=982052$ 和 $D(10000)=999830459302$

找到 $D({11}^{111})$ 并给出对 ${10}^{18}+3$ 取模的答案。