在下面的等式中，$x$、$y$ 和 $n$ 是正整数。

$${\displaystyle \frac{1}{x}}+{\displaystyle \frac{1}{y}}={\displaystyle \frac{1}{n}}$$

对于 $n=4$，存在三种不同的解决方案：

$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{1}{5}}+{\displaystyle \frac{1}{20}}& ={\displaystyle \frac{1}{4}}\\ {\displaystyle \frac{1}{6}}+{\displaystyle \frac{1}{12}}& ={\displaystyle \frac{1}{4}}\\ {\displaystyle \frac{1}{8}}+{\displaystyle \frac{1}{8}}& ={\displaystyle \frac{1}{4}}\end{array}$$

当不同解的数量超过一千时，$n$ 的最小值是多少？

注意：此问题是问题 110 的简单版本；强烈建议您先解决这个问题。