在下面的等式中，$x$、$y$ 和 $n$ 是正整数。

$${\displaystyle \frac{1}{x}}+{\displaystyle \frac{1}{y}}={\displaystyle \frac{1}{n}}$$

可以验证，当$n=1260$时，有$113$个不同解，这是$n$中不同解总数超过一百的最小值。

当不同解的数量超过四百万时，$n$ 的最小值是多少？

注意：这个问题是问题 108 的一个更困难的版本，并且由于它远远超出了暴力方法的限制，因此需要巧妙的实现。