Albert 选择一个正整数 $k$，然后在区间 $[0,1]$ 内随机选择两个均匀分布的实数 $a,b$。
然后计算总和 $(k\cdot a+1{)}^2+(k\cdot b+1{)}^2$ 的平方根并四舍五入到最接近的整数。如果结果等于 $k$，则他获得 $k$ 分；否则他什么也得不到。

例如，如果 $k=6$、$a=0.2$ 且 $b=0.85$，则 $(k\cdot a+1{)}^2+(k\cdot b+1{)}^2=42.05$。
$42.05$ 的平方根是 $6.484\cdots$，四舍五入到最接近的整数时，它变成 $6$。
这等于 $k$，因此他获得了 $6$ 分。

可以证明，如果他玩 $10$ 回合，$k=1,k=2,\dots ,k=10$，则他的总得分的预期值（四舍五入到小数点后五位）为 $10.20914$。

如果他玩 ${10}^5$ 回合，$k=1,k=2,k=3,\dots ,k={10}^5$，他的总得分的预期值是多少，四舍五入到小数点后五位？