将从 $1$ 开始的连续正整数写成 $10$ 进制形式并依次拼接，所得的无限字符串记为 $S$。
因此，$S=1234567891011121314151617181920212223242\cdots$。

容易看出，每个数都会在 $S$ 中出现无穷多次。

将 $n$ 在 $S$ 中第 $n$ 次出现的起始位置记为 $f(n)$。
例如，$f(1)=1$、$f(5)=81$、$f(12)=271$，且 $f(7780)=111111365$。

求 $1\le k\le 13$ 时的 $\sum f(3^k)$。