两辆车位于总长度为 $2n$ 的圆形轨道上，面向同一方向，最初相距 $n$。
他们轮流移动。在每个转弯处，移动的汽车将以相同的概率前进 $1$、$2$ 或 $3$ 的距离。
当移动的汽车到达或超出另一辆车的位置时，追逐结束。移动的汽车被宣布为获胜者。

令 $S(n)$ 为两辆车获胜概率之间的差异。
例如，当$n=2$时，两辆车的获胜概率为$\frac{9}{11}$和$\frac{2}{11}$，因此$S(2)=\frac{7}{11}$。

设 ${\displaystyle T(N)=\sum _{n=2}^{N}S(n)}$。

已知 $T(10)=2.38235282$ 四舍五入到小数点后 8 位。

求 $T({10}^{14})$，四舍五入到小数点后 8 位。